確率論ってなんじゃい

完備可分距離空間Sの上の正則な確率測度Pは，
実数R上のある正則確率測度Qと同型．

うーん．不思議．とりあえず，証明の方針を振り返ってみよう．

まず，完備可分距離空間の上の正則確率測度（位相と整合して完備な確率測度）は，可測集合をコンパクト集合で（ある意味）近似できる．らしい．

さらに，P可測写像f :S → R をもってくると，任意のP可測集合Aを近似するようなコンパクト集合K⊂Aがあって，f の定義域をKに制限したものがKからRへの連続写像になるようにできる．Lusinの定理．

連続写像はコンパクト性を保存するので，P可測集合Aのコンパクト集合による近似K をf でうつした f(K) が，Q可測集合Bのコンパクト集合による近似になっていれば，QがRの上の正則確率測度であることがいえる．このためには，QをPのf による像測度とすればよい．

最後に，適当にP可測写像 f を選んで，S→f(S) の全単射を作ればよろしい．ここでもSの可分性を使っているのかな．



うん．
一見複雑に見える距離空間上のにつくった確率空間が，単純な確率空間と同型になる．．．これは，ほんとに不思議な定理だ．完備可分というのは，すごく強い制約なんだなぁ．．．